Monday, May 22, 2017

আপনি মানুন আর নাই মানুন ০.৯৯৯... = ১

[লেখাটি এর আগে পাই জিরো টু ইনফিনিটি ম্যাগাজিনে প্রকাশিত]

এর আগে একটি লেখায় বলেছিলাম ৪=৩ প্রমাণ করা গেলেও (?) আসলে সেটি গণিতের সাথে ফাঁকিবাজি, যা প্রকৃত নিয়ম মেনে প্রমাণ করা অসম্ভব। এখন তাহলে মনে হচ্ছে .৯৯৯... = ১ প্রমাণ করাও তাহলে একটি লুকোচুরির দাবি রাখে। কিন্তু না, উল্টোটা প্রমাণ করতেই বরং লুকোচুরির আশ্রয় নিতে হবে। শুনতে অবাস্তব লাগছে দেখেই এক হালি প্রমাণ হাজির করছি 😛



প্রমাণ ১: 
বীজগাণিতিক প্রমাণ:

ধরি, x = 0.999...
তাহলে, 10 দিয়ে গুণ করে,
10x = 10 × 0.999...
বা 10x = 9.999...

বিয়োগ করে,
10x - x = 9.999... - 0.999...
বা 9x = 9.000
বা 9x = 9
বা x= 1

অথচ আমরা ধরেছিলাম, x = 0.999...
সুতরাং ০.৯৯৯... = ১
(প্রমাণিত)

প্রমাণ ২:
দুইটি সংখ্যা যদি একই হয়, তার অর্থ এদের মাঝখানে অন্য কোনো সংখ্যা নেই। যেমন আমি যদি প্রমাণ করতে চাই  x = y, তাহলে আমাকে দেখাতে হবে x এবং y এর মাঝে অন্য কোনো সংখ্যা নেই। এখন, বলুন তো ০.৯৯৯... এবং ১ এর মাঝের সংখ্যা কোনটি? আপনি যদি অবিচ্ছিন্ন সংখ্যা consider করেন তবু এ দুই সংখ্যার মাঝে কাউকে পাবেন না। তার মানে দুজনে আসলে একই।

এখানে মনে রাখতে হবে, ০.৯৯৯... মানে কিন্তু দশমিকের পরে অসীম পর্যন্ত ৯ যুক্ত হতে থাকবে।
তাহলে ১ এবং ০.৯৯৯... এর মাঝে সংখ্যা কোনটি? ভেবে বলুন তো। অসীম বলবেন? কিন্তু অসীম কি কোনো সংখ্যা? 😛 অসীম ($\infty$) কিন্তু বাস্তব সংখ্যা নয়।


প্রমাণ-৩:

আমরা জানি,
$\frac{1}{9} = 0.1111111...$

এটাই যদি বিশ্বাস না হয় তাহলে ক্যালকুলেটর চেপে দেখে নিন অথবা খাতা কলম নিয়ে ভাগ করে ফেলুন।

এবার তাহলে, $9×\frac{1}{9} = 9 × 0.11111111...$ (উভয়পক্ষকে 9 দ্বারা গুণ করে)
বা, 1 = 0.9999999.........


প্রমাণ ৪:
ধারার মাধ্যমে

আমরা লিখতে পারি,
$0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...$
$ = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \frac{9}{10000} +...$

এটা একটি গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ , $a = \frac{9}{10}$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{1}{10} < 1$

আমরা জানি গুনোত্তর ধারার r ১ এর ছোট হলে সমষ্টি হয়
$$ S= \frac{a}{1-r}
={\frac{9}{10} \over {1-\frac{1}{10}}}
=\frac{9}{10} × \frac{10}{9}   = 1$$

(না বুঝা গেলে খাতায় করে দেখুন, সিম্পল।)
তাহলে ধারা থেকেও পাচ্ছি ০.৯৯৯... = ১
লক্ষ্যণীয় ০.৯৯৯৯৯৯৯৯ লিখতে গিয়ে ডট ডট না দিলে কিন্তু তা ১ হবে না।

Abdullah Adil Mahmud

লেখকের পরিচয়

আব্দুল্যাহ আদিল মাহমুদ। লেখক ও ডেটা অ্যানালিস্ট। পড়াশোনা ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের পরিসংখ্যান বিভাগে। সম্পাদনা করছেন Stat Mania বিশ্ব ডট কম। পাশাপাশি লিখছেন বিজ্ঞানচিন্তা, ব্যাপন পাই জিরো টু ইনফিনিটিসহ বিভিন্ন ম্যাগাজিনে। প্রকাশিত অনূদিত বইঃ অ্যা ব্রিফার হিস্ট্রি অব টাইম । লেখকের এই সাইটের সব লেখা এখানে ফেসবুক, গুগল প্লাস। পারসোনাল ওয়েবসাইট